Mosaikgulvet:

I renæssancemaleren Piero della Francesca´s berømte billede "Flagellazione", findes et sort - hvidt mosaikgulv, hvis mønster i vore dage kendes fra Mellemøsten, Pompei og Rom. Arkæologiske undersøgelser viser, at disse mønstre kan dateres til de første århundreder efter Kr.

Piero, som tillige var matematiker og perspektiviker, kan have fattet interesse for gulvmønstret under sit ophold i Rom fra 1452 - 1458.

Den første, der omtaler Pieros mosaikmønster, er kunsthistorikeren C. Winterberg. Han oversatte i 1899 Pieros traktat om perspektivet til tysk og forsøgte derefter at finde en sammenhæng mellem mønstret og billedets perspektiv.

I 1942 kaldte den italienske kunsthistoriker, Piero Longhi, i sin bog om Piero, mønstret for "Misterioso gioco pavimentale" (den hemmelighedsfulde leg med fliserne), og gjorde det kendt under dette navn.

I 1953 skrev kunsthistorikeren R. Wittkower i samarbejde med perspektivikeren B.A.R.Carter en artikel om perspektivet og mosaikmønstret i "Flagellazione". Den stod at læse i Journal of the Wartburg and Courtauld Institutes samme år. Deres artikel er uvidenskabelig; den er usammenhængende, og deres konklusion giver ingen mening. Desuden er deres iagtagelser vedrørende perspektivet behæftet med fejl. Men da deres artikel blev offentliggjort i et anset tidskrift, er der siden blevet henvist til den overalt i bøger og tidsskrifter, der beskæftiger sig med Pieros billede.

Efter flere års forskning er mønstrets gådefulde indhold afdækket. Bogen indeholder 33 tekstsider, 1 farvefoto af Flagellazione, 52 sider (plancher) med geometriske tegninger og foto af modeller.

Medforfatter Gertrud Lassen.



The tesselated floor:

In the famous paiting, "Fagellazione", made by the renæssance painter Piero della Francesca, there is a black and white tesselatet floor which nowadays is known from The Middle East, Pompei and Rome. Archaeological investigations show that the known patterns can be dated to the first centuries A.D. Piero who was also a mathematician and a perspektivist, may have been interested in the mosaic pattern during his stay in Rome from 1452 to 1458.

The first person who refers to Piero´s floor is the arthistorian C.Winterberg. In 1899 he translated Pieros´ tract on perspevtive into German language, and after that he attempted to relatate the pattern to the perspective of the painting.

In 1942 the Italian arthistorian, Piero Longhi, called the pattern "Misterioso gioco pavimentale" (the mysterious play with the tiles), and made it known under that name.

In 1953 an article dealing with the perspective and the tesselated floor in "Flagella- zione" was written by the arthistorian R. Wittkower and the perspectivist B.A.R. Carter.

It appeared in Journal of the Courtauld Institutes the same year. Their article is unscientific; it is incoherent and its conclusion does not make sense. In addition their observations regarding the perspective are defective. However being published in a distinguished periodical, their article has afterwards been referred to everywhere in books and periodicals which are occupied with Piero´s painting.

Co-author Gertrud Lassen.



Mosaik-Boden:

In dem berühmten Bild: "Flagellazione" des Renaissance Malers Piero della Francesca gibt es einen schwarz/weiss en Mosaikboden. Man kennt diese Muster heute aus dem Mittelosten, Pompei und Rom. Archäologische Untersuchungen zeigen, dab diese Muster sich auf die ersten Jahrhunderte n. Chr. G. datieren lassen.

Piero, der auch Matematiker und Perspektiviker war, kann Interesse für die Mosaikmuster unter seinem Aufenthalt in Rom von 1452 bis 1458, gefasst haben.

Der Erste, der Piero´s Mosaikmuster beschrieb, war der Kunsthistoriker C. Winterberg. Er übersetzte 1899 Piero´s Traktat über die Perspektive auf Deutsch und versuchte danach einen Zusammenhang zwischen dem Muster und der Perspektive des Bildes zu finden.

1942 nannte der italienische Kunsthistoriker, Piero Longhi in seinem Buch über Piero, das Muster "Misterioso gioco pavimentale" (das geheimnisvolle Spiel mit den Kacheln) und machte es unter diesem Namen bekannt.

1953 schrieb der Kunsthistoriker R.Wittkower in Zusammenarbeit mit dem Perspektiviker B.A. R. Carter einen Artikel über die Perspektive und das Mosaikmuster in "Flagellazione". Dieser stand in dem "Journal of the Wartburg and Courtauld Institutes " im gleichen Jahr. Ihr Artikel ist unwissenschaftlich; unzusammenhängend, und ihre Konklusion ergibt keinen Sinn, aub erdem sind ihre Beobachtungen angehend der Perspektive fehlerhaft. Da aber der Artikel in einer angesehenen Zeitschrift veröffentlicht wurde, wird seither immer in Büchern und Zeitschriften, bei Arbeiten die sich mit Piero´s

Mitautor: Gertrud Lassen



Il pavimento a mosaico:

Il noto dipinto "Flagellazione" del pittore rinascimentale Piero della Francesca raffigura un pavimento decorato con un motivo ornamentale a mosaico bianco e nero, oggi riconducibile alle tradizioni figurative del Medio Oriente, di Pompei e di Roma, e databile, secondo le ricerche archeologiche condotte, ai primi secoli dopo Cristo.

È probabile che Piero della Francesca, fino ad allora matematico e studioso della prospettiva, abbia sviluppato l’interesse per il motivo ornamentale del pavimento durante il suo soggiorno a Roma fra il 1452 e il 1458.

Il primo studioso che abbia fatto menzione di questo motivo ornamentale è lo storico dell’arte C. Winterberg, a cui dobbiamo nel 1899 la traduzione tedesca del trattato di della Francesca sulla prospettiva, e che tentò in seguito di evidenziare una connessione fra il motivo ornamentale e la prospettiva del dipinto.

Nel 1942, nella sua opera dedicata al pittore, lo storico dell’arte italiano Piero Longhi definisce il motivo "Misterioso gioco pavimentale", rendendolo noto sotto questo nome.

Nel 1953 lo storico dell’arte R. Wittkower in collaborazione con lo studioso di tematiche legate alla prospettiva B.A.R. Carter, elabora un articolo sulla prospettiva e sul motivo ornamentale del pavimento in "Flagellazione", pubblicato lo stesso anno nel Journal of the Wartburg and Courtauld Institutes. Si tratta di uno studio privo di fondamento scientifico, incoerente e dalle conclusioni senza significato. Le osservazioni dei due autori sulla prospettiva sono, inoltre, dense di errori. Ma poiché è stato pubblicato in una rivista assai considerata nel settore, l’articolo viene comunemente citato nei libri e nelle pubblicazioni relative ai dipinti di Piero della Francesca.

Coautrice Gertrud Lassen.
Akusmatikernes hemmelighed

De gamle grækere Parmenides, Zenon og Platon kendes som filosoffer, og eftertiden har betragtet deres skrifter som filosofi. I det følgende vil jeg argumentere for, at de ikke var filosoffer, men at det, de beskæftigede sig med, var geometri, idet de videreførte traditionen fra den del af pythagoræerne, som kaldtes akusmatikere.
Det har vi fra forfatteren Iamblichos (4. Århundre e.v.t.), som i sin De Vita Pythagorica Liber skriver, at der blandt pythagoræerne er to slags filosoffer: akusmatikere og matematikere, og at de sidstnævnte fuldt ud anerkendte akusmatikerne som pythagoræere. Han skriver videre, at akusmatikernes filosofi består af sentenser uden bevis og uden begrundelse, og at de videregav deres filosofi mundtligt (akousma = det hørte). I øvrigt taler han i kap. 2 side 17 om en lære, som er gemt i hemmelige og symbolske sentenser, og som er svært tilgængelig. Her antydes, at akusmatikerne skjulte deres viden.
Denne viden har jeg arbejdet på at finde. Som det vil vise sig, nåede jeg frem til den ad mærkværdige veje.
Den højtbegavede italienske renæssancemaler og matematiker, Piero della Francesca (d.1492) har i sit ejendommelige maleri »Flagellazione« (hudflettelsen) gengivet et gådefuldt geometrisk mønster, som ses i porticoens gulv til venstre i billedet. Dette mønster har kunsthistorikeren Wittkower sammen med perspektivikeren Carter søgt at forbinde med det, de mente var billedets målenhed. De har i 1953 skrevet en artikel herom, som er blevet vel modtaget blandt kunsthistorikere trods iøjnefaldende fejl. Gennem deres artikel fik jeg interesse for Piero og for mønstret. Efter mange års arbejde er det lykkedes mig at løse mønstrets gåde. Det viser sig at bestå af projektioner af platoniske polyedre (legemer sammensat af flader).
Mens jeg arbejdede på mønstret, begyndte jeg at undersøge billedets græske indhold nærmere. Derved vaktes min interesse for Platon, som jeg læste mange gange uden at finde mening i teksten. Men jeg havde en fornemmelse af, at der lå noget gemt i den. Jeg arbejdede som en gal for at forstå, hvad der lå bag ordene, og jeg tvang mig til at abstrahere fra teksten for at finde det, der måtte være den egentlige betydning. Her kom den geometriske viden, jeg havde fra Pieros gulvmønster, mig til hjælp. Efterhånden åbnede Platons tekst sig og viste mig, at ordene dækkede over geometriske konstruktioner, som jeg kendte fra mønstret.
Senere er det gået op for mig, at den måde, hvorpå jeg fandt frem til indholdet i mønstret, i virkeligheden svarer til den måde, hvorpå akusmatikerne udviklede deres geometriske konstruktioner. Samtidig fik jeg beviset på, at Piero har konstrueret sit mønster ud fra samme akusmatiske tankegang. Han har forsynet mønstret med et ydre mosaikfelt, som ligeledes indeholder et platonisk legeme. Sammen med sin mæcen og billedets bestiller, Urbinofyrsten Montefeltro, som var en dygtig matematiker, har han læst og set, hvad der lå gemt i Platons tekster, som på dette tidspunkt netop var blevet oversat til italiensk. Fyrsten ejede datidens største bogsamling heriblandt matematiske skrifter, Platons dialoger og Iamblichos  bog om pythagoræerne. Bøgerne står i dag i Vatikanets bibliotek (fondo urbinate).
Piero opholdt sig i Rom 1458-59. Her må han havde set og kopieret det antikke mønster, som findes der, og som senere er afdækket flere forskellige steder i Italien og i Mellemøsten.
Piero er den første efter Euklid (ca. 300 f.v.t.), som har beskæftiget sig med de platoniske legemer. Han har beskrevet dem i sin matematiske traktat, men i sit billede har han gemt to af dem i møn-stret og således skjult den viden om akusmatisk geometri, som han havde tilegnet sig fra Platon.

Under mit arbejde har jeg fundet følgende fællestræk hos de mange akusmatikere, som jeg har læst: De tager alle udgangspunkt i et kvadrat og de beskriver deres skjulte geometri, som om den af sig selv kan danne kopier, bevæge sig og skabe nye figurer. Hos så forskellige filosoffer og forfattere som Thales, Homer, Pythagoras, Herodot og Parmenides har jeg ialt fundet flere hundrede af disse geometriske konstruktioner. Desuden har jeg fundet dem i endnu ældre ægyptiske tekster. Det gælder for alle disse tekster, hvori jeg har fundet geometri, at de forekommer uforståelige
(jf. Iamblichos). Herpå er afsnittet om Thales hos Herodot (Bog 1.75) et godt eksempel.
Akusmatikerne taler i dagligsprog om kendte ting og situationer. De giver linjestykkerne mands- og kvindenavne og forklarer deres bevægelser gennem hverdagsskildringer. De har en omfattende samling af kodeord, hvoraf mange er fælles for de forskellige forfattere. Som kodeord bruges f.eks. dyr, planter, by -og stednavne.
Når jeg læser Platons tekster, finder jeg et utal af geometriske konstruktioner, øvelser og eksperimenter. Det, der styrer og leder mig gennem geometrien, er navnet Sokrates, som står for et bestemt linjestykke, der fungerer som en enhed (monade). Nogle af dialogerne beskriver den udvikling, der fører frem til konstruktionen af de platoniske polyedre. Således indeholder dialogen Filebos en beskrivelse af forstadiet til ikosaederet (legeme bestående af 20 flader). Og den store dialog, Staten, handler om de konstruktioner, som en terning kan frembringe. Det er ufatteliget, at der kan gemmes et så gigantisk værk i det forfatterskab, vi kender som Platons.

For at gøre opmærksom på min forskning udgav jeg i 1999 bogen om Zenons fire argumenter mod bevægelse, et filosofisk paradox som vi har fra Aristoteles. Han har nedskrevet dem i sin bog »Fysikken«, og kaldt dem » Zenons argumenter mod bevægelse som volder dem der forsøger at løse dem, vanskeligheder«. Matematikere, fysikere og filosoffer har gennem tiderne forgæves søgt at forstå dem, og der er skrevet utallige artikler om dem. Argumenterne indeholder geometri. Zenon var akusmatiker og har derfor skjult sin viden i en kodet tekst. Efter 4 års arbejde lykkedes det mig med min viden fra Piero og fra Platon at finde frem til den geometri, der ligger i argumenterne. I min bog forklares for første gang, hvad akusmatisk geometri vil sige. For at redegøre for den geometri, der ligger i Zenons tekst, har jeg udført 47 tegninger og fremstillet et apparat, som vises i bogen med 4 fotografier. Ingen har anmeldt min bog.

I Platons dialog, Parmenides, står Zenon omtalt som elev af den sidstnævnte og som forsvarer for dennes filosofi, og her omtales Parmenides  digte. Denne omtale fik mig til at udforske Parmenides  kendte digt DK1. (ca. 500 f.v.t.), og i dag ved jeg, hvad der ligger gemt i den kryptiske tekst. Det er fascinerende at se, hvor genialt det poetiske værk er skrevet over en meget kompliceret geometri. Udover de 63 geometriske konstruktioner, som teksten indeholder, har jeg bygget flere modeller magen til dem, Parmenides beskriver. Geometrien tager udgangspunkt i en terning, som gennem drejninger og kopiering genererer nye konstruktioner. Digtet er et fint eksempel på akusmatisk geometri, og Parmenides viser sig tillige at være en mester i projektion. Hvor sindrigt digtet er bygget op, vil man få et indtryk af, når man hører, at hvert betydningsbærende ord er en kode, som dækker over et sæt af konstruktioner, der først kan tydes, når et andet sæt af konstruktioner er forstået ud fra dettes betydningsbærende ord.
Et andet kendt paradox er Aristoteles  udsagn om »den ubevægede bevæger«. For mange år siden læste jeg hans bøger Himlen, Sjælen, Metafysikken og Fysikken uden at forstå dem. Senere har jeg efter at have fundet geometrien bag piskescenen i Pieros billede kunnet se forbindelsen til den geometri, der ligger i begrebet »den ubevægede bevæger«. Det var nu muligt for mig at finde en vis mening i Aristoteles  knudrede tekst. Han fremtræder ikke som en rendyrket akusmatiker, men han bruger i sine tekster mange akusmatiske ord. Ved hjælp af dem kunne jeg konstruere den specielle geometri, der ligger til grund for »den ubevægede bevæger«. Resultat er 30 geometriske konstruktioner og 10 modeller.

Da jeg for en del år siden læste Platons dialog Timaios, som blandt andet indeholder et afsnit om verdensbygmesteren, der skaber orden af uorden, tænkte jeg, at det kunne minde om skabelses-beretningen. Jeg fik den tanke, at der i bibelteksten kunne ligge en skjult geometri. Jeg søgte forgæves at finde den. Først da jeg for nylig læste den nye bibeloversættelse på videnskabeligt grundlag, dvs. renset for religiøse tilføjelser (udkommet 2001), kunne jeg pludselig se, at der i teksten lå en skjult geometri. Jeg genkendte den ud fra forskellige kodeord i Parmenides  digt som f.eks."nattens bolig","himlen" og "som skiller dagens og nattens veje". Dialogen Timaios er speciel derved, at den udover den kodede tekst indeholder et afsnit, som ukodet beskriver en geometri opbygget af trekanter. Netop disse to forskellige former for tekst sammenholdt med Parmenides  kodeord gav mig forklaringen på geometrien i begyndelsen af skabelsesberetningen.
I den sidste tid har jeg arbejdet med denne tekst, og jeg har afdækket og konstrueret en del af den akusmatiske geometri, som den indeholder.
Parmenides  digt er skrevet for omkring 2500 år siden omtrent på samme tid som det gamle testamente blev til.

Også i det ny testamente har jeg fundet skjult geometri. Et eksempel på dette er følgende citat: Hvorfor ser du splinten i din broders øje, men bjælken i dit eget øje bemærker du ikke ! (Lucas 6.39). Lignelsen indeholder en geometri, som jeg kan forklare gennem 13 konstruktioner og 4 modeller. Fordi jeg genkendte lignelsens objekter (bjælken, splinten, øjet) som geometriske legemer hos akusmatikerne, var det forholdsvis let for mig at afkode teksten.
Nyplatonikerne kendte ikke til akusmatikernes skjulte viden. Det fremgår af den filosofi, de har bygget over Platons tekster. Først i den tidlige renæssance dukker den gamle viden op igen hos Piero efter næsten 1800 år. Og jeg har set den hos Leonardo da Vinci, der ligesom Piero har kendt til den skjulte geometri i det ny testamente. Det viser han i sit bebudelsesbillede fra 1475, hvis figurer gemmer på en skjult geometri. At Piero sammen med Montefeltro har set det samme som jeg i det ny testamente, viser han i billedets piskescene, som er udtryk for en bevægelig geometri indeholdt i det cirkelfelt, figurerne står på. Det er et projekt i sig selv, som jeg vil skrive om på et senere tidspunkt. Det er ikke tilfældigt, at det netop blev disse to store kunstnere, begge fremragende geometrikere, der fandt den skjulte geometri og overførte den til deres billeder.

Bogen om Zenon er blevet til i samarbejde med min tidligere studiekammerat Getrud Lassen, der gennem de sidste 12 år med iver og interesse har deltaget i mine forskellige projekter og har været til stor hjælp under udarbejdelse af teksterne.
Dette er skrevet for at gøre opmærksom på den enorme uudforskede viden, der ligger i de gamle tekster, en viden, som jeg har været så heldig at få indblik i.

22. juni 2003

arkitekt og exam. art.

Mosaik-mønstret i Piero della Francescas billede, har forlæg efter arkæologisk mønster.

Se under Flagellazione - Mosaikgulvet.

The Mosaik patteren in the pictures of Piero della Francescas have their source in archeological pattern.

See under the Flagellazione - Mosaic floor.

Das Mosaikmuster in Piero della Francescas Gemälde hat als Vorlage ein archäologisches Muster.

Siehe unter Flagellazione - Mosaikboden.

Mosaikgulvet er fundet (2007) i det nordlige Israel, og er dateret fra 4. og 5.århundrede.
Det geometriske mønster er af hellenistisk oprindelse, og løsningen på dets geometriske indhold fremgår af min bog om Piero Della Francesca.

In the year 2007 a mosaic floor was found in the north part of Israel. The date of the floors estimated to be between the 4.th and the 5.th century, and is of Hellenistic origin.
I have written a book on Piero Della Francesca in which the same geometric pattern appears. The pattern fascinated me so much that I have a solution to the patterns geometry
Eigil Raahauge Jørgensen *1937 - † 2015

Klik på billedet og se video / Click on the image and watch video